第13章 重积分

例 1 设一元函数 $f$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续,一元函数 $g$ 在 $\left\lbrack {c,d}\right\rbrack$ 连续, 试证 (1) $\displaystyle{\iint }_{\left\lbrack {a,b}\right\rbrack \times \left\lbrack {c,d}\right\rbrack }f\left( x\right) g\left( y\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x{\int }_{c}^{d}g\left( y\right) \mathrm{d}y$ ; (2) $\displaystyle{\iint }_{\left\lbrack {a,b}\right\rbrack \times \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }f\left( x\right) f\left( y\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\left( {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) \mathrm{d}x\right) }^{2}$ .

例 2 设 $f\left( {x,y}\right)$ 是二阶连续可微函数. 试计算 $$ I = {\iint }_{\left\lbrack {a,\beta }\right\rbrack \times \left\lbrack {\gamma ,\delta }\right\rbrack }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) . $$

例 3 设 $\Delta$ 是 ${OXY}$ 平面上由直线 $$ y = a,\;y = x\text{ 和 }x = b, $$ 所围成的闭区域 $\left( {a < b}\right)$ . 又设 $f\left( {x,y}\right)$ 是在 $\Delta$ 上有定义并且连续的一个函数. 试证 $$ {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}x{\int }_{a}^{x}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}y = {\int }_{a}^{b}\mathrm{\;d}y{\int }_{y}^{b}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}x. $$

例 4 设 $f\left( t\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 连续, $x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ . 试证明 $$ {\int }_{a}^{x}\mathrm{\;d}{t}_{n - 1}{\int }_{a}^{{t}_{n - 1}}\mathrm{\;d}{t}_{n - 2}\cdots {\int }_{a}^{{t}_{1}}f\left( t\right) \mathrm{d}t $$ $$ = \frac{1}{\left( {n - 1}\right) !}{\int }_{a}^{x}{\left( x - t\right) }^{n - 1}f\left( t\right) \mathrm{d}t. $$

解 如果采取先对 $y$ 积分再对 $x$ 积分的方案,那么就会遇到不好计算的内层积分: $$ I = {\int }_{0}^{1}\left( {{x}^{2}{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}\right) \mathrm{d}x, $$ 这里的 $\displaystyle{\int }_{x}^{1}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y}$ 不好计算. 如果先对 $x$ 积分,再对 $y$ 积分,就能够顺利地计算到底: $$ I = {\int }_{0}^{1}\mathrm{\;d}y{\int }_{0}^{y}{x}^{2}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}x $$ $$ = \frac{1}{3}{\int }_{0}^{1}{y}^{3}{\mathrm{e}}^{-{y}^{2}}\mathrm{\;d}y = \frac{1}{6} - \frac{1}{3\mathrm{e}}. $$

例 2 考察 ${\mathbb{R}}^{3}$ 中的圆柱 ${x}^{2} + {y}^{2} \leq {a}^{2}$ 和 ${x}^{2} + {z}^{2} \leq {a}^{2}$ ,试求这两 个圆柱相交部分的体积 $V$ (参看图 13-7). \begin{center} \end{center} \hspace*{3em} 图 13-6 \begin{center} \end{center} \hspace*{3em} 图 13-7

例 3 试计算积分 $$ I = {\iiint }_{E}\frac{\mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) }{{\left( 1 + x + y + z\right) }^{3}}, $$ 这里 $E$ 是四面体 $$ \{ \left( {x,y,z}\right) \mid x,y,z \geq 0,x + y + z \leq 1\} . $$

例 4 试计算积分 $$ I = {\iiint }_{E}\left( {\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}}}\right) \mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) , $$ 这里 $E$ 是椭球体 $$ \frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} + \frac{{z}^{2}}{{c}^{2}} \leq 1. $$

例 5 如下形状的集合被称为 $n$ 维单纯形: $$ {C}_{n}\left( r\right) = \left\{ {\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \in {\mathbb{R}}^{n}\left| {\;\begin{array}{l} {x}_{1} \geq 0,\cdots ,{x}_{n} \geq 0, \\ {x}_{1} + \cdots + {x}_{n} \leq r \end{array}}\right. }\right\} . $$ 试计算 ${C}_{n}\left( r\right)$ 的体积 ${W}_{n}\left( r\right)$ .

例 6 设 ${B}_{n}\left( r\right)$ 表示半径为 $r$ 的 $n$ 维闭球体,试计算 ${B}_{n}\left( r\right)$ 的体积 ${V}_{n}\left( r\right)$ .

例 1 设 (一元) 函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 连续,则有 $$ {\iint }_{\left| x\right| + \left| y\right| \leq 1}f\left( {x + y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = {\int }_{-1}^{1}f\left( u\right) \mathrm{d}u. $$

例 3 考察抛物线 ${y}^{2} = {\alpha x},{y}^{2} = {\beta x},{x}^{2} = {\gamma y}$ 和 ${x}^{2} = {\delta y}$ $\left( {0 < \alpha < \beta ,0 < \gamma < \delta }\right)$ . 设 $D$ 是由这四条抛物线围成的闭区域,试计算: (1) $D$ 的面积 $\sigma \left( D\right)$ ； (2) $I = {\iint }_{D}{xy}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ ; (3) $J = {\iint }_{D}\frac{1}{xy}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ . \begin{center} \end{center} \hspace*{3em} 图 13-9

例 4 设 $D$ 是第一象限内由双曲线 ${xy} = a,{xy} = b$ 与直线 $y = {px},y = {qx}$ 围成的闭区域 $\left( {0 < a < b,0 < p < q}\right)$ ,试计算 (1) $D$ 的面积 $\sigma \left( D\right)$ ; (2) $I = {\iint }_{D}\frac{y}{x}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ ; (3) $J = {\iint }_{D}x{y}^{3}\mathrm{\;d}\left( {x,y}\right)$ .

例 5 设 (一元) 函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 连续,试证 $$ {\iint }_{{x}^{2} + {y}^{2} \leq 1}f\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) = \pi {\int }_{0}^{1}f\left( u\right) \mathrm{d}u. $$

例 6 设二元函数 $f$ 在闭区域 $D$ 连续. 对以下情形 (1) 和 (2), 试用极坐标变换把 $$ I = {\iint }_{D}f\left( {x,y}\right) \mathrm{d}\left( {x,y}\right) $$ 化为累次积分, 其中 (1) $D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {a}^{2} \leq {x}^{2} + {y}^{2} \leq {b}^{2}}\right\}$ ; (2) $D = \left\{ {\left( {x,y}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} \leq {2ax}}\right\}$ .

例 7 球体 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} \leq {a}^{2}$ 被圆柱面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {ax}$ 所割,试计算割下那部分立体的体积 $V$ . [17 世纪意大利数学家维维安尼 (Vivi-ani) 曾提出过类似的问题. 所以该立体又被称为维维安尼立体. ]

例 8 试证明 $$ {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \sqrt{\pi },\;{\int }_{0}^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}x = \frac{\sqrt{\pi }}{2}. $$

例 9 试计算积分 $$ I = {\iint }_{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \leq 1}\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}\mathrm{d}\left( {x,y}\right) . $$

例 10 计算三重积分 $$ I = {\iiint }_{D}\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) , $$ 其中的 $D$ 是由锥面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {z}^{2}$ 与平面 $z = 1$ 围成的锥体 (图 13-18). \begin{center} \end{center} \hspace*{3em} 图 13-18

例 11 试计算 $$ I = {\iiint }_{D}{\mathrm{e}}^{\lambda \left( {\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}}\right) + {\mu z}}\mathrm{\;d}\left( {x,y,z}\right) , $$ 这里 $D$ 是椭圆柱体 $$ \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \left| {\;\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{y}^{2}}{{b}^{2}} \leq 1}\right. ,0 \leq z \leq c}\right\} . $$

例 12 试计算 $$ I = {\iiint }_{D}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) , $$ 这里 $D$ 是由锥面 $z = \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}}$ 与球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ 所围成的闭区域 (图 13-19).

例 13 试计算 $$ I = {\iiint }_{{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {2az}}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) . $$

例 14 试计算 $$ I = {\iiint }_{D}\left( {x + y - z}\right) \left( {-x + y + z}\right) \left( {x - y + z}\right) \mathrm{d}\left( {x,y,z}\right) , $$ 这里的 $D$ 是闭区域 $$ 0 \leq x + y - z \leq 1, $$ $$ 0 \leq - x + y + z \leq 1, $$ $$ 0 \leq x - y + z \leq 1\text{ . } $$

例 16 把以下重积分化为单积分: $$ I = {\int }_{{B}_{n}\left( a\right) }f\left( \sqrt{{x}_{1}^{2} + \cdots + {x}_{n}^{2}}\right) \mathrm{d}\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) , $$ 这里设 $$ {B}_{n}\left( a\right) = \left\{ {\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \mid {x}_{1}^{2} + \cdots + {x}_{n}^{2} \leq {a}^{2}}\right\} , $$ 并设 (一元) 函数 $f$ 在闭区间 $\left\lbrack {0,a}\right\rbrack$ 连续.